Dynamics, operator algebra, and groups: from one to many dimensions

Verkligheten är i rörelse, och det är grundläggande för fysiken att beskriva denna rörelse som dynamiska system eller mekanik. I mer än 100 år har vi vetat att newtonsk mekanik med funktioner mellan euklidiska rum inte är tillräcklig för att beskriva små atomstorlekar. Det var von Neumanns insikt att ett oändliktdimensionellt vektorrum som bevarar vår välkända geometri är vad som krävs för att beskriva kvantmekaniska fenomen. Han kallade det Hilbertrum. Med detta nya verktyg var det möjligt att koda dynamiska system som operatorer mellan Hilbertrum, och med tiden har denna idé utforskats i abstrakt matematik. Symbolisk dynamik är en metod för att beskriva utvecklingen av ett system över tid med hjälp av orienterade grafer med noder och kanter (tänk sociala nätverk). Det är särskilt lämpligt för att också hantera system som är kaotiska (t.ex. Smales hästskoexempel), dvs systemets tillstånd på lång tid är svårt eller omöjligt att förutsäga från nuvarande tillstånd. I von Neumanns anda kan sådana symboliska system också kodas som operatorer mellan Hilbertrum med hjälp av C*-algebror (uttalas C-stjärna), vilket ger nya metoder för att studera systemets beteende. Det finns också grupper som kartlägger systemets symmetrier. Med detta projekt kommer jag att utforska dessa kopplingar samt generalisera dem till högre dimensionella symboliska system. Dessa skapar en naturlig ram för att studera grafer av högre rang, sätt att täcka planen med brickor (t.ex. med dominobrickor) samt exempel från statistisk mekanik. Sådana exempel lider av obestämdhet, dvs vissa frågor kan aldrig besvaras med en metod som kan skrivas ner som ett recept (en algoritm). Det är min förhoppning att detta nya perspektiv från operatorer mellan Hilbertrum kan ge nya insikter i dessa fascinerande dynamiska system. Mitt mål är att utveckla metoder inspirerade från kvantmekanik för att studera dynamiska system i en och flera dimensioner.