Moving domain decomposition methods for parabolic PDEs

The overall purpose of the project is to design and analyze new domain decomposition methods for parabolic partial differential equations (PDEs) on moving domains with dynamic boundary conditions. These equations are frequently encountered in applications, and are numerically challenging due to the time-dependent geometries and the need for implicit time integration. This results in large-scale computations that require the usage of parallel and distributed hardware.

The numerical study of parabolic PDEs on moving domains is a very recent field focused on standard numerical schemes that do not allow for parallel implementations. Thus, there is a large demand, from both industry and academia, to develop new parallel strategies tailored to time-dependent equations and geometries.

The aim of this project is therefore to develop a genuinely new framework, by merging numerical analysis of domain decomposition methods with the recent theoretical developments associated with PDEs on moving domains and space-time finite elements. This includes the extension of Sobolev-Bochner spaces to moving domains and variational formulations using fractional Sobolev spaces in time. The methods developed in the project will be implemented and benchmarked in our interdisciplinary collaborations, e.g., in optimal surface control.

Partiella differentialekvationer (PDEer) är ett av de viktigaste verktygen för att modellera fenomen inom naturvetenskap och teknik. Till exempel för att modellera temperaturen i en stålbalk som varmvalsas till en tågräls krävs det en ekvation för värmeflödet som både beror på tid och rum. Dessutom är området i rummet tidsberoende då balken ändrar form. Sådana problem på rörliga områden kan sällan lösas exakt och det finns en stor efterfrågan att utveckla metoder som på ett pålitligt och effektivt sätt approximerar lösningarna.

För många PDEer är det inte heller möjligt att approximera en lösning till hela problemet på en och samma gång. Man är därför tvungen att dela upp den ursprungliga ekvationen i mindre problem vars lösningar är enklare att approximera. I vår rälsmodell skulle vi t.ex. kunna dela upp rälsen i små kuber och genom att växla mellan dessa kuber får vi en uppdelning av det ursprungliga problemet.

Numeriska metoder baserade på denna idé kallas för områdesuppdelande metoder. Användningen av sådana metoder kan kraftigt reducera beräkningsarbetet, men för att metoderna ska bli effektiva måste också approximationerna vara tillräckligt noggranna. Detta kräver en förståelse för hur approximationsfelet minskar med en ökad investering av beräkningsarbete, vilket är en huvudfråga för numerisk analys av PDEer.

Trots att dessa metoder har använts flitigt i beräkningskoder saknas fortfarande felanalyser för många familjer av PDEer. Vidare är det önskvärt att approximationsmetoden bibehåller de fysikaliska egenskaperna som den ursprungliga modellen uppvisar. En metod som t.ex. inte bevarar positivitet är till liten nytta för en värmeflödesmodell där temperaturen uppenbarligen är positiva. Vår övergripande ambition är således att utveckla och analysera nya klasser av effektiva och pålitliga metoder för PDEer på rörliga områden. De nya metoderna kommer även att användas i våra interdisciplinära samarbeten, t.ex. inom reglerteknik med fokus på ytkylning.