Next generation numerical partitioning schemes for time dependent PDEs

The overall purpose of the project is to design and analyze the next generation of partitioning methods for time dependent partial differential equations (PDEs). These equation systems are frequently encountered in applications, and are numerically challenging due to the lack of smooth solutions and the need for implicit time integration. The latter typically results in large-scale computations that require the usage of parallel and distributed hardware.

Partitioning strategies, such as splitting schemes and domain decomposition methods, are often proposed as the efficient way to make use of such hardware. However, the full potential of the partitioning approach is rarely utilized in practice for time dependent PDEs. Thus, there is a large demand, from both industry and academia, to develop new partitioning strategies tailored for time dependent systems.

My aim with this project is to develop a genuinely new approach for partitioning schemes, by merging elements from numerical analysis of domain decomposition and splitting schemes with the frameworks of monotone operators and nonlinear semigroup theory. The latter includes a broad spectrum of time dependent systems, e.g., degenerate parabolic equations, wave equations with nonlinear damping, infinite dimensional Riccati equations and variational inequalities. The schemes developed in the project will be used in our interdisciplinary collaborations, e.g., in machine learning, stress corrosion simulations and axon growth modelling.

Partiella differentialekvationer är ett av de viktigaste verktygen för att modellera fenomen inom naturvetenskap och teknik. Modeller av komplexa processer där många olika fenomen interagerar resulterar ofta i stora system av ekvationer. Till exempel för att simulera luftföroreningar krävs det både att flödet av föroreningarna och deras inverkan på varandra via kemiska processer tas med. En relativt enkel föroreningsmodell kan bestå av uppemot hundra ekvationer där varje obekant är en funktion av rum och tid. Sådana problem kan sällan lösas exakt och det finns därför en stor efterfrågan inom såväl akademin som industrin att utveckla numeriska metoder som på ett pålitligt och effektivt sätt approximerar ekvationernas lösningar.

För stora system av partiella differentialekvationer är det inte heller alltid möjligt att approximera en lösning till hela systemet på en och samma gång utan man är tvungen att dela upp det ursprungliga ekvationssystemet i mindre problem vars lösningar är enklare att approximera. I vår luftföroreningsmodell skulle vi t.ex. kunna dela upp atmosfären i överlappande kuber och genom att växla mellan dessa kuber får vi en uppdelning av det ursprungliga problemet.

Numeriska metoder baserade på denna idé kallas för partitioneringsmetoder. Användningen av sådana metoder kan kraftigt reducera beräkningsarbetet, men för att metoderna ska bli effektiva måste också approximationerna vara tillräckligt noggranna. Detta kräver en förståelse för hur approximationsfelet minskar med en ökad investering av beräkningsarbete, vilket är en av huvudfrågorna för numerisk analys av differentialekvationer.

Trots att partitioneringsmetoder använts flitigt i beräkningsprogram saknas fortfarande denna typ av felanalys för många familjer av partiella differentialekvationer. Vidare är det önskvärt att approximationsmetoden bibehåller de fysikaliska egenskaper som det ursprungliga systemet uppvisar. En metod som t.ex. inte bevarar positivitet är till liten nytta för en luftföroreningsmodell där alla föroreningskoncentrationer uppenbarligen är positiva. Vår övergripande ambition är således att utveckla och analysera nya klasser av effektiva och pålitliga metoder för system av ickelinjära och tidsberoende partiella differentialekvationer. De nyutvecklade metoderna utgör också grunden för våra interdisciplinära samarbeten, t.ex. inom maskininlärning, modellering av spänningskorrosion och simulering av tillväxten hos nervutskott.