Numerical methods for differential Riccati equations

The aim of the proposed project is to analyze, develop and implement numerical methods for differential Riccati equations (DREs). These are matrix- or operator-valued evolution equations with quadratic nonlinearities. They are very important in many areas, in particular for optimal/robust control. The solution to a DRE provides all optimal feedback laws for a linear quadratic regulator problem, and computing it is a critical step in the control of many industrial processes.

There has been much interest in this area recently, with a focus on low-rank methods that can handle large-scale problems. Many seemingly good methods have been proposed, but they all lack proper error analyses. This critical gap means that it is difficult to tune them properly and to predict which problems they are most suited for. It is also still not clear under which conditions matrix-valued DREs have solutions with low rank.

A main goal of this project is therefore to perform rigorous error analyses of many methods by functional analytic arguments. We will focus on the operator-valued case and recover the matrix-valued case via spatial discretization. Based on these insights, we will optimize existing methods, automate their usage for end-user engineers, and develop new advanced methods which combine their best features. It will also lead to bounds on the rank of the exact solution.

The research programme will be carried out over a 4-year period, by an associate senior lecturer assisted by a PhD student.

Effektiv processkontroll är kritisk inom modern industri. Även om ett system har designats perfekt så kommer det att vara utsatt för störningar från omgivningen. Därför används reglersystem som detekterar sådana avvikelser och justerar processen så att den återgår till det normala, önskade beteendet.

För att bestämma den mest effektiva och minst kostsamma styrningen i en av de vanligaste sådana styrsystemen krävs det att man löser en så kallad differentiell Riccati-ekvation (DRE). Detta går inte att göra analytiskt, dvs. det går inte att skriva ner en formel för lösningen, sätta in siffror och räkna ut vad det blir. Man måste istället lösa ekvationen numeriskt, dvs. applicera en numerisk metod för att hitta ett närmevärde. Man kan hitta närmevärden som är godtyckligt nära den exakta lösningen, men ju noggrannare approximation man kräver desto mer beräkningsarbete krävs det.

För styrning av storskaliga system så krävs det extremt mycket beräkningar ifall man applicerar standardmetoder som används för "vanliga" differentialekvationer. Den senaste tiden har dock en klass metoder utvecklats som använder sig av att DRE-lösningarna har så kallad låg rang. Detta minskar drastiskt beräkningsmängden och möjliggör styrning av storskaliga system. Det finns dock ingen riktig felanalys för dessa metoder. Dvs., det finns ingen teori som indikerar hur mycket beräkningskraft som krävs för att närmevärdena skall nå en viss önskad nivå av noggrannhet. Det är även fortfarande okänt vilka krav man måste ställa på sin DRE för att den faktiskt skall ha en lösning av låg rang, samt hur låg denna rang är.

Det här projektet kommer att undersöka dessa två frågor och genom avancerade matematiska argument från funktionalanalys fastställa förutsägbara modeller för både de numeriska felen och lösningarnas rang. Denna analys kommer att leda till optimerade metoder med automatiserade val av parametrar som både minskar energi- och tidsåtgång och möjliggör effektiv styrning av storskaliga system.