Eskil Hansen

(Populärvetenskaplig sammanfattning)

Partiella differentialekvationer är ett av de viktigaste verktygen för att modellera fenomen inom naturvetenskap och teknik. Modeller av komplexa processer där många olika fenomen interagerar resulterar ofta i stora system av ekvationer. Till exempel för att simulera luftföroreningar krävs det både att flödet av föroreningarna och deras inverkan på varandra via kemiska processer tas med. En relativt enkel föroreningsmodell kan bestå av uppemot hundra ekvationer där varje obekant är en funktion av rum och tid. Sådana problem kan sällan lösas exakt och det finns därför en stor efterfrågan inom såväl akademin som industrin att utveckla numeriska metoder som på ett pålitligt och effektivt sätt approximerar ekvationernas lösningar.

För stora system av partiella differentialekvationer är det inte heller alltid möjligt att approximera en lösning till hela systemet på en och samma gång utan man är tvungen att dela upp det ursprungliga ekvationssystemet i mindre problem vars lösningar är enklare att approximera. Numeriska metoder baserade på denna idé kallas för splittingmetoder. Användningen av dessa metoder kan kraftigt reducera beräkningsarbetet, men för att metoderna ska bli effektiva måste också approximationerna vara tillräckligt noggranna. Detta kräver en förståelse för hur approximationsfelet minskar med en ökad investering av beräkningsarbete, vilket är en av huvudfrågorna för numerisk analys av differentialekvationer. 

Trots att splittingmetoder använts flitigt i beräkningsprogram sedan mitten av femtiotalet saknas fortfarande denna typ av felanalys för många familjer av partiella differentialekvationer. Vidare är det önskvärt att approximationsmetoden bibehåller de fysikaliska egenskaper som det ursprungliga systemet uppvisar. En metod som t.ex. inte bevarar positivitet är till liten nytta för en luftföroreningsmodell där alla föroreningskoncentrationer uppenbarligen är positiva. Vår övergripande ambition är således att utveckla och analysera nya klasser av effektiva och pålitliga splittingmetoder för system av ickelinjära partiella differentialekvationer. Vi fokuserar främst på ekvationssystem som passar in i halvgruppsteorin, t.ex. ickelinjära diffusions-reaktions-system, vågekvationer med ickelinjär dämpning och Schrödingerekvationer med ickelinjära potentialer. De nyutvecklade splittingmetoderna utgör också grunden till våra interdisciplinära samarbeten, t.ex. vid simulering av spänningskorrosion i metaller och styrning av vattenreningsprocesser.