Gradient-baserad optimering av olinjära strukturer och material

Gradient-based optimization is a potent tool in many design processes today. It is particularly useful in industries where weight considerations are crucial, such as aerospace, but can also be exploited in for example civil engineering applications to reduce the material use and thereby the environmental impact. With the advent of advanced manufacture methods, it even possesses the potential to design novel materials with enhanced properties that naturally occurring materials lack. Unfortunately, most research on the subject often limits itself to linear problems, wherefore the optimization's utility in solving intricate non-linear problems is still comparatively rudimentary. The aim of this thesis is therefore to investigate gradient-based optimization of various non-linear structural problems, while addressing their inherent numerical and modeling complexities.

This thesis contains an introduction to gradient-based optimization of non-linear structures and materials, involving both shape and topology optimization. To start, the governing equations of the macroscopic and microscopic problems are described. A multi-scale framework which details the transition between the scales is defined. A substantial part of the thesis is dedicated to eigenvalue problems in topology optimization, and the numerical issues that they accompany. Specifically, the effects of finite deformations on the topology optimized design taking into account eigenfrequencies, structural stability or elastic wave propagation are scrutinized. A fictitious domain approach to topology optimization is employed, wherein void regions are modeled via an ersatz material with low stiffness. Unfortunately, this brings about artificial eigenmodes and convergence problems in the finite element analyzes. Two methods which deal with both of the aforementioned problems are proposed, and their efficacy is illustrated via several numerical examples. The use of shape optimization to post-process topology optimized designs is investigated for problems where accurate boundary descriptions are crucial to capture the physics, as is the case in contact problems. To take this concept further, a simultaneous topology and shape optimization method is proposed, which allows parts of the structural boundaries to be modeled exactly up to numerical precision. This approach is proven to be especially useful in the design of pressure-driven soft robots.

Vid tillverkning av strukturella komponenter är mängden och typen av tillgängligt material ofta begränsat i den mån att komponenten inte får vara för tung och dyr. Samtidigt skall komponenten uppfylla sitt ändamål, som exempelvis att kunna bära en viss last utan att deformeras för mycket, eller att inte uppnå resonans när den utsätts för vibrationer inom specifika frekvensspann. Traditionellt utgörs en designprocess utav iterativ utvärdering av inkrementellt förbättrade designer som tas fram baserat på mänsklig intuition och erfarenhet. Förutom att den här typen av designprocess är tidskrävande och dyr, så garanterar den ej att den slutgiltiga designen är optimal.

Med hjälp av matematiska optimeringsmetoder förenklas sökandet efter optimal design, samtidigt som designprocessen effektiviseras. En tidig typ av optimering var formoptimering, där strukturens ränder förflyttas för att uppnå en förbättring av dess egenskaper. För att möjliggöra större förändringar av strukturens geometri utvecklades senare topologioptimering, där ändringar gällande form, tjocklek samt sammankopplingar mellan olika beståndsdelar tillåts. Lösningen till ett matematiskt optimeringsproblem utgör en konceptuell design som är optimerad i förhållande till uttryckta önskemål.

För att lösa ett visst optimeringsproblem, måste strukturens hållfasthet utvärderas. I vissa fall kan även andra egenskaper såsom egenfrekvenser och stabilitet behöva utredas. För att beskriva det fysikaliska systemet införs vissa antaganden, som exempelvis små töjningar och linjärelastisk material-respons, vilka avsevärt förenklar lösningen av de styrande differentialekvationerna. Tyvärr begränsar även dessa antaganden användningen av optimeringsmetoderna, då många strukturer och material i verkligheten beter sig högst olinjärt.

I den här avhandlingen modelleras både struktur och material med hjälp av avancerade olinjära teorier och metoder. Avhandlingen behandlar optimering av strukturella problem där egenvärdes-problem uppstår, såsom är fallet då hänsyn tas till egenfrekvenser, stabilitet eller vågutbredning. De numeriska metoder som krävs för att lösa egenvärdesproblem i topologioptimering utvecklas och analyseras. Här utröns även hur egenvärden påverkas av yttre last, det vill säga spänningar i strukturen. Resultaten visar på en tydlig inverkan av pålagda krafter, vilket leder till stora förändringar av den optimerade designen jämfört med om antaganden om linjäritet antas.

En annan del av avhandlingen behandlar det ytterst olinjära fenomenet kontakt i kombination med topologioptimering. Så kallade metamaterial, det vill säga material med egenskaper som inte existerar i naturligt förekommande material, designas vilka utnyttjar kontakt som en olinjär mekanism. Här genomförs även rigorösa post-processerings analyser, där designen extraheras och dess egenskaper utvärderas.

Slutligen presenteras en optimeringsmetod som utför form- och topologioptimering samtidigt. Metoden visar sig vara mycket användbar i fall då randrepresentation är av stor betydelse, som till exempel vid optimering av tryckdrivna robotar. Den här typen av robotar, som ofta benämns mjuka robotar, har nyligen fått stor uppmärksamhet på grund av deras låga tillverkningskostnad och stora mångsidighet. Olinjär antaganden krävs för att korrekt modellera robotarnas rörelse, då ofta stora töjningar och hyperelastiska material såsom gummi är involverade.