Numeriska metoder för differentiella Riccati-ekvationer

Syftet med det föreslagna projektet är att analysera, utveckla och implementera numeriska metoder för differentiella Riccati-ekvationer (DREs). Dessa är matris- eller operatorvärda evolutionsekvationer med kvadratiska olineariteter. De är mycket viktiga inom många områden, i synnerhet för optimal/robust reglering. Lösningen till en DRE ger alla optimala återkopplings-styrlagar för ett linjär-kvadratiskt regulatorproblem, och att beräkna den är ett kritiskt steg i styrningen av många industriella processer.

Intresset för detta område har varit stort på senare tid, med fokus på lågrangmetoder som kan hantera storskaliga problem. Många till synes bra metoder har föreslagits, men de saknar alla ordentliga felanalyser. Denna kritiska kunskapslucka innebär att det är svårt att ställa in dem ordentligt och att förutsäga vilka problem de är bäst lämpade för. Det är också fortfarande oklart under vilka förhållanden som matrisvärda DRE:er har lösningar med låg rang.

Ett huvudmål för detta projekt är därför att utföra rigorösa felanalyser av många metoder med hjälp av funktionalanalytiska argument. Vi kommer att fokusera på det operatorvärda fallet och återfå det matrisvärda fallet via rumsdiskretisering. Baserat på dessa insikter kommer vi att optimera befintliga metoder, automatisera deras användning för slutanvändare och utveckla nya avancerade metoder som kombinerar deras bästa egenskaper. Det kommer också att leda till uppskattningar av den exakta lösningens rang.

Forskningsprogrammet kommer att utföras under en fyraårsperiod av en biträdande lektor med hjälp av en doktorand.

Effektiv processkontroll är kritisk inom modern industri. Även om ett system har designats perfekt så kommer det att vara utsatt för störningar från omgivningen. Därför används reglersystem som detekterar sådana avvikelser och justerar processen så att den återgår till det normala, önskade beteendet.

För att bestämma den mest effektiva och minst kostsamma styrningen i en av de vanligaste sådana styrsystemen krävs det att man löser en så kallad differentiell Riccati-ekvation (DRE). Detta går inte att göra analytiskt, dvs. det går inte att skriva ner en formel för lösningen, sätta in siffror och räkna ut vad det blir. Man måste istället lösa ekvationen numeriskt, dvs. applicera en numerisk metod för att hitta ett närmevärde. Man kan hitta närmevärden som är godtyckligt nära den exakta lösningen, men ju noggrannare approximation man kräver desto mer beräkningsarbete krävs det.

För styrning av storskaliga system så krävs det extremt mycket beräkningar ifall man applicerar standardmetoder som används för "vanliga" differentialekvationer. Den senaste tiden har dock en klass metoder utvecklats som använder sig av att DRE-lösningarna har så kallad låg rang. Detta minskar drastiskt beräkningsmängden och möjliggör styrning av storskaliga system. Det finns dock ingen riktig felanalys för dessa metoder. Dvs., det finns ingen teori som indikerar hur mycket beräkningskraft som krävs för att närmevärdena skall nå en viss önskad nivå av noggrannhet. Det är även fortfarande okänt vilka krav man måste ställa på sin DRE för att den faktiskt skall ha en lösning av låg rang, samt hur låg denna rang är.

Det här projektet kommer att undersöka dessa två frågor och genom avancerade matematiska argument från funktionalanalys fastställa förutsägbara modeller för både de numeriska felen och lösningarnas rang. Denna analys kommer att leda till optimerade metoder med automatiserade val av parametrar som både minskar energi- och tidsåtgång och möjliggör effektiv styrning av storskaliga system.