Boundary singularities of plurisubharmonic functions

I denna avhandling studeras en särskild kategori av subharmoniska funktioner, det vill säga reellvärda funktioner vars värde i en specifik punkt är mindre än eller lika med funktionens medelvärde på sfärer med centrum i punkten. Sådana funktioner återfinns på flera håll i vetenskapen. Ett exempel är temperaturen i ett bord efter att en värmeslinga slagits på längs bordets rand. I detta fall kommer värmefördelningen vid varje tidpunkt, betraktad som en funktion från ett område i planet till de reella talen, att utgöra en subharmonisk funktion. Ett annat exempel är den elektriska potentialen i ett elektrisk fält som bildas av ett antal positiva laddningar.

Subharmoniska funktioner är också intressanta rent matematiskt, och i synnerhet är teorin för dessa, potentialteori, på områden i det komplexa talplanet mycket rik. Funktionerna är då intimt förknippade med komplext deriverbara funktioner, så kallade holomorfa funktioner. Till exempel är realdelen, imaginärdelen, beloppet samt logaritmen av beloppet av en holomorf funktion alla subharmoniska. Detta synsätt ger också en teknisk fördel, eftersom subharmoniska funktioner till skillnad från holomorfa funktioner går att modifiera lokalt. I högre dimension, på områden i det komplexa rummet Cⁿ, gäller i hög grad samma förhållanden, om vi begränsar oss till de subharmoniska funktioner som respekterar den komplexa strukturen. I avhandlingen studeras sådana plurisubharmoniska funktioner.

Med exemplet med värmeslingan på randen av ett bord i håg kan man fundera över villkor man kan ställa på en plurisubharmonisk funktion som gör den unikt bestämd, i analogi med att en temperaturfördelning i jämvikt enbart bör bero på värmeslingans temperatur och hur värme kan lämna bordet (t ex via luften). Sådana matematiska krav återfinns i Dirichletproblemet för den komplexa Monge-Ampère-operatorn,

u plurisubharmonisk och begränsad,
u = φ på randen,
(dd^cu)ⁿ = μ

där (dd^cu)ⁿ är u:s komplexa Monge-Ampère-mått, μ är ett fixerat positivt mått, och φ är en funktion definierad på områdets rand. Detta problem är mycket välstuderat, och numera vet man att det har en unik lösning, som dessutom är kontinuerlig, om φ är kontinuerlig för en stor uppsättning komplexa Monge-Ampère-mått. Här ska det också nämnas att liknande uppställningar, så kallade komplexa Monge-Ampère-ekvationer, faktiskt uppkommer i strängfysiken, i frågor som rör hur de extra dimensionerna som man inför där kan se ut rent geometriskt.

Det centrala temat i avhandlingen är att på olika sätt mildra kravet att φ ska vara kontinuerlig, och att i dessa fall undersöka huruvida en lösning existerar, om den är unik, samt om och var den är kontinuerlig. Hur diskontinuerlig kan vi låta φ vara? Går det att säga någonting om φ är obegränsad, "oändlig" i någon punkt? För att kunna göra detta omformuleras en del resultat i en komplex variabel, där dessa frågor är mer utredda, på ett sådant sätt att de är generaliserbara till högre dimensioner.