Codes on Graphs and More

Popular Abstract in Swedish
``Att fela ör mönskligt...'' är början på en sentens som antyder att det krävs någit ytöver det mänskliga för att korrigera fel; sanningen är att det är lika naturligt för människan at korrigera fel som det är att fela, vilket belyses i detta stycke. Trots ett flertal skrivfel är innebörden av texten entydig. Detta beror naturligtvis på att meningsfull svensk text svarar mot endast en liten andel av alla tänkbara kombinationer av symboler (bokstäver och skiljetecken). Då vi ser en följd av symboler, så ``avkodar'' vi automatiskt följden till den ``närmaste'' meningsfulla texten. Svensk text innehåller ungefär tre gånger så många symboler jämfört med vad som krävs för att förmedla dess innehåll. Skillnaden kallas språkets redundans.

Vid överföring av binära sekvenser kan motsvarande feltolerans erhållas. Vi tillför extra symboler (redundans) på ett väldefinierat sätt. Därigenom kommer olika ``meningsfulla'' sekvenser, kodord, att skilja sig åt i tillräckligt många positioner för att vi, då vi mottager en sekvens med ett rimligt antal felaktiga bitar, skall kunna extrahera vår ursprungliga sekvens.

Kodningsteorin har bidragit till en formalisering och ett praktiskt förverkligande av felkorrigeringsprocessen. Den är ett delområde inom den av Claude E. Shannon 1948 grundade informationsteorin, som utgör grundvalen för all telekommunikation. Shannon visade bl a att vi genom kodning kan uppnå godtycklig tillförlitlighet vid kommunikation över en kanal utsatt för störningar om och endast om datahastigheten understiger en för kanalen karakteristisk parameter, kanalkapaciteten.

Kodning kan utföras på olika sätt. Det finns två huvudklasser av koder, nämligen blockkoder och faltningskoder. I denna avhandling har vi konstruerat och analyserat både block- och faltningskoder baserade på grafer. Dessa koder är mycket kraftfulla och lämpar sig för iterativ avkodning. Koder över grafer är ett ``hett'' forskningsområde. Vi kan även gå den omvända vägen och konstruera optimala grafer genom att utgå från koder.

Avhandlingen är teoretisk med inslag av simuleringar som vi gör dels för att undersöka prestanda men ofta för att vässa vår intuition. Teoretisk kodningsforskning har resulterat i tillämpningar som CD-spelare (kodning medför att återgivningen trots smärre defekter i skivan blir exakt den avsedda), mobiltelefoni (kodning medför att det krävs avsevärt lägre sändareffekt för samma ljudkvalitet, vilket möjliggör mindre apparater), modem (kodning möjliggör väsentligt högre datahastigheter), satellitkommunikation (utan kodning skulle antennerna bli orimligt stora) etc. Dessa tillämpningar har kunnat realiseras tack vare att den dramatiska utvecklingen inom mikroelektroniken möjliggjort implementeringar av mycket avancerade system.