Sparse Modeling Heuristics for Parameter Estimation - Applications in Statistical Signal Processing

Stefan Ingi Adalbjörnsson

Forskningsoutput: AvhandlingDoktorsavhandling (sammanläggning)

243 Nedladdningar (Pure)

Sammanfattning

Popular Abstract in Swedish
Den här avhandlingen studerar olika statistiska metoder för att utvinna information som ligger dold i en serie av tal eller andra symboler, exempelvis bokstäver. En sådan serie kan innehålla slumpmässighet eller ha vissa mätbara statistiska egenskaper, men har även ett inneboende mönster, vilket vi är intresserade av. Vi kallar vanligtvis sådana serier för signaler, och de kan representera till exempel data eller ljud som skickas över en telekommunikationskanal, människans DNA-kod, det som mäts genom en radar, eller en inspelning av musik. Gemensamt för dessa signaler är att man kan utforma modeller som beskriver signalens beteende, och kan på så sätt extrahera den intressanta informationen. Denna kan man till exempel använda för att prediktera hur ännu okända delar av signalen kan bete sig, såsom i väderprognoser. Informationen kan även användas för att bevisa eller motbevisa olika hypoteser, som att avgöra huruvida ett förhöjt blodsockervärde är friskt eller ej. Avhandlingen behandlar huvudsakligen parametriska modeller, vilket innebär att den matematiska modellen innehåller parametervärden som beskriver signalens beteende. Att finna dessa parametrar, eller att skatta dem som det heter inom statistiken, är en förutsättning för att besvara de relevanta frågeställningarna. Ett exempel på en parametrisk modell är den för pianosträngen, där man vanligtvis enbart söker parametern för grundfrekvensen genom att titta på dess harmoniska frekvensinnehåll. Att därmed utelämna klang och andra musikaliska egenskaper är förstås en grov förenkling av verkligheten, men en modell utformas ofta för att endast besvara de frågeställningar man faktiskt ställt - varken mer eller mindre. I exemplet med pianosträngen kan detta motsvara att man vill veta vilka noter som spelats i en melodi, eller dess rytm. Parameteriska modeller har en lång tradition inom matematisk statistik och signalbehandling och tillämpas flitigt inom en rad olika ingenjörsområden - med goda praktiska och teoretiska resultat. Avhandlingen är avgränsad till metoder som behandlar ett vanligt förekommande problem med parametriska modeller - deras brist på flexibilitet. Detta kan illustreras till exempel genom att återgå till exemplet med pianosträngen. Vad händer om man vill finna de noter som ett piano spelar i ett musikstycke, ifall inspelningen även innehåller en violin som spelar andra noter? Om modellen inte antar att signalen består av två instrument, blir oftast resultatet helt felaktigt. Antingen så väljs den ton som spelas starkast, vilket inte nödvändigtvis är pianot, eller så väljs ett mellanting mellan de båda tonerna, vilken varken motsvarar pianot eller violinen. Denna problematik, alltså hur man skattar parametrar när man inte vet hur många komponenter som finns i signalen, är avhandlingens huvudtema. Dess olika kapitel avser olika tillämpningar, där vi skattar grundtoner i harmoniska (och nästan harmoniska) ljudsignaler, lokaliserar olika ljudkällors position, hittar dolda repetitioner i sekvenser av symboler och bestämmer parametrarna för flerdimensionella dämpade svängningar, vilka man finner inom exempelvis den medicinska tekniken. I samtliga fall beskriver modellen signalen väl, men endast under förutsättning att man vet exakt hur många komponenter den består av. Metoderna som utvecklas i avhandlingen bygger på relativt nya matematiska insikter om vilka ekvationssystem som kan lösas, specifikt när ekvationssystem har lösningar där de flesta okända variablerna är exakt lika med noll, då man säger att lösningen är gles eller ”sparse”. Detta innebär ofta att man måste göra ytterligare förenklingar för att det skall gå att lösa ekvationerna. Ett sätt att göra detta är att använda ett stort ekvationssystem där varje potentiell komponent av signalen, varje så kallad kandidat, får sin egen variabel. När de olika kandidaterna i någon mening är olika varandra, kommer en numerisk lösningsmetod att automatisk välja vilka kandidater som är lämpliga, vilket då ger antal komponenter tillsammans med kandidaternas respektive parametrar. Att uttrycka den parametriska modellen som ett ekvationssystem av kandidater kan göras på flera sätt och beroende på hur man gör kan resultaten bli väldigt olika. I avhandlingen behandlas därför detta specifikt för varje tillämpning. Genom att matematiskt analysera modellen har vi hittat strukturer som tillåter komponenterna i ekvationssystemet att vara tillräckligt olika. I de två artiklarna om att skatta grundfrekvenser i ljud och om att lokalisera ljud visar vi att man kan få bättre resultat genom att gruppera signalens komponenter i harmoniska strukturer. Detta innebär att man låter varje kandidat motsvara en sådan grupp och låta lösningsmetodiken välja lämpliga kandidater, under premissen att dessa skall vara få. Resultaten är lovande och i flera fall har vi kunnat visa att förenklingarna inte leder till sämre skattningar än då man vetat exakt antal komponenter i signalen. Eftersom den uppmätta signalen ofta genererar mycket stora datamängder har vi även utvecklat beräkningseffektiv lösningsmetodik då standardlösningarna skulle bli alldeles för tidskrävande.
Originalspråkengelska
KvalifikationDoktor
Tilldelande institution
  • Matematisk statistik
Handledare
  • Jakobsson, Andreas, handledare
Tilldelningsdatum2014 okt. 31
Förlag
ISBN (tryckt)978-91-7623-107-4
StatusPublished - 2014

Bibliografisk information

Defence details

Date: 2014-10-31
Time: 13:15
Place: Lecture hall MH:A, Centre for Mathematical Sciences, Sölvegatan 18, Lund University Faculty of Engineering

External reviewer(s)

Name: Jansson, Magnus
Title: [unknown]
Affiliation: The Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, Sweden

---

Ämnesklassifikation (UKÄ)

  • Sannolikhetsteori och statistik

Fingeravtryck

Utforska forskningsämnen för ”Sparse Modeling Heuristics for Parameter Estimation - Applications in Statistical Signal Processing”. Tillsammans bildar de ett unikt fingeravtryck.

Citera det här